Różne rodzaje trendów

Trend to pewien rodzaj prostej funkcji, która determinuje nasze elementy szeregu. Można za jego pomocą w prosty sposób prognozować, chociaż taka prognoza w wypadku szeregów czasowych jest mało efektywna, ale za ich pomocą możemy stwierdzić jaki ogólny przebieg może mieć szereg w przyszłości. Tren dzielimy na te liniowe, nieliniowe sprowadzane do liniowych i te niesprowadzane do liniowych.
Większość średnich można w łatwy sposób obliczać za pomocą minimum:

JednorownaniowyModelLiniowyregresja14

Artykuł zawiera opis modeli trendów:

  1. Liniowych
  2. Logarytmicznych
  3. Potęgowych
  4. Wykładniczych
  5. Hiperbolicznych

Do artykułu będę systematycznie dodawała modele trendów. Wszystkie wykresy zawarte w artykule zostały wykonane przy użyciu programu:

Program do generowania wykresów rozrzutu

 


Model trendu liniowego

trend liniowy

. Wzór modelu wygląda następująco:

JednorownaniowyModelLiniowyregresja12gdzie:

Y – Zmienna objaśniana.

X – zmienna objaśniająca.

β1 i β0 – parametry strukturalne.

ε – Składnik losowy.

Aby wyznaczyć przybliżone wartości parametrów  β1≈b1 i β0≈b0 stosuje się metodę najmniejszych kwadratów. Najpierw musimy wyznaczyć minimum funkcji

JednorownaniowyModelLiniowyregresja14
Następnie po przekształceniu wzory wyliczamy pochodne dla

JednorownaniowyModelLiniowyregresja15Po przekształceniu ostatecznie uzyskujemy wzór na obliczenie przybliżonych parametrów b1 i b0.

JednorownaniowyModelLiniowyregresja13

Przykład obliczeń w pliku Excel:  przykład_trend_liniowy.odt ,  przykład_trend_liniowy.xls

 


Model trendu logarytmicznego

trend logarytmiczny

Wzór modelu wygląda następująco:

trend logarytmicznyWzór
gdzie:

Y – Zmienna objaśniana.

X – zmienna objaśniająca.

β1 i β0 – parametry strukturalne.

ε – Składnik losowy.

Aby wyznaczyć przybliżone wartości parametrów  β1≈b1 i β0≈b0 stosuje się metodę najmniejszych kwadratów. Najpierw musimy wyznaczyć minimum funkcji

JednorownaniowyModelLiniowyregresja14

Cały trik polega na tym, że stosujemy podstawienie

trend logarytmicznyWzór2

Co sprowadza nasz model do klasycznej postaci liniowej:

 

Po przekształceniu ostatecznie uzyskujemy wzór na obliczenie przybliżonych parametrów b1 i b0.

trend logarytmicznyWzór5

Przykład obliczeń w Excelu: przykład_trend_logarytmiczny.ods , przykład_trend_logarytmiczny.xls

 


Model trendu potęgowego

potegowa22

Wzór modelu wygląda następująco::

potegowy_wzor3

gdzie:

Y – Zmienna objaśniana.

X – zmienna objaśniająca.

β1 i β0 – parametry strukturalne.

ε – Składnik losowy.

e – liczba Napiera (Napera)

Aby sprowadzić do klasycznej postaci liniowej należy przeprowadzić operacje:

potegowy_postacliniowa1

Teraz wystarczy tylko podstawić zmienne:

podstawienia

Aby wyznaczyć przybliżone wartości parametrów  β1≈b1 i β0≈b0 stosuje się metodę najmniejszych kwadratów.

potegowa122

Po przekształceniu ostatecznie uzyskujemy wzór na obliczenie przybliżonych parametrów b1 i b0.

potegowa123

Ostatecznie b0 obliczymy:

potegowa124

 

Przykład obliczeń w Excelu: Model-potegowy-zależny-przyklad.ods, Model-potegowy-zależny-przyklad.xls

Dodatkowo:  przykład_trend_potęgowy.ods, przykład_trend_potęgowy.xls

 


Model trendu wykładniczego

wykładnicza

Wzór modelu wygląda następująco:

wyk2

gdzie:

Y – Zmienna objaśniana.

X – zmienna objaśniająca.

β1 i β0 – parametry strukturalne.

ε – Składnik losowy.

e – liczba Napiera (Napera)

Tak jak poprzedni, poprzez logarytmowanie sprowadzimy sobie go do postaci liniowej:

wyk3

Należy teraz podstawić pod logarytmy niewiadome:

wyk4

Aby wyznaczyć przybliżone wartości parametrów  β1≈b1 i β0≈b0 stosuje się metodę najmniejszych kwadratów.

wyk5

Po przekształceniu ostatecznie uzyskujemy wzór na obliczenie przybliżonych parametrów b1 i b0.

Ostatecznie prognozę wygasłą obliczamy ze wzoru:

Przykład obliczeń w Excelu: przykład_trend_wykładniczy.ods, przykład_trend_wykładniczy.xls

 


Model trendu hiperbolicznego

Wzór modelu wygląda następująco:

Y – Zmienna objaśniana.

X – zmienna objaśniająca.

β1 i β0 – parametry strukturalne.

ε – Składnik losowy.

Aby obliczyć tego typu trend, wystarczy, że dokonamy podstawienia:

Aby wyznaczyć przybliżone wartości parametrów  β1≈b1 i β0≈b0 stosuje się metodę najmniejszych kwadratów.

Po przekształceniu ostatecznie uzyskujemy wzór na obliczenie przybliżonych parametrów b1 i b0.

trend logarytmicznyWzór5

Przykład obliczeń w Excelu:przykład_trend_hiperboliczny.ods, przykład_trend_hiperboliczny.xls


 

Permalink do tego artykułu: https://visualmonsters.cba.pl/rozne-rodzaje-trendow/

Dodaj komentarz

Twój adres email nie będzie publikowany.